INTRODUCCIÓN A ESTE TEMA

Esta unidad introduce el modelo de representación cartesiana como paso precio al estudio de funciones. A continuación se pretende que todas las personas que están visitando esta pagina aprendan de forma sencilla que es una función y como se construye, así como a manejar las funciones, interpretarlas y extraer datos de ellas. En definitiva se pretende que las personas entiendan las funciones como una forma de relacionar dos magnitudes de manera gráfica.

DEFINICIÓN DE FUNCIONES

Una función es una relación establecida entre dos conjuntos A y B que asigna a cada valor del conjunto A( Variable independiente) un único valor del segundo conjunto(Variable dependiente).

NOTACIÓN DE FUNCIONES

La notación de la función es una manera de escribir funciones que aclara el nombre de la función, de las variables independientes, de las variables de pendientes, y de la regla de la transformación.

En el ejemplo vemos que, f(x) es la variable dependiente, f es el nombre de la función, x es la variable independiente, y 3x +2 es la regla de la transformación.

CONDICIONES DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

CONDICIÓN DE EXISTENCIA

• Cada elemento del conjunto de partida esta relacionado al menos una vez con uno con varios elementos del conjunto de llegada.
• El dominio de la relación es igual al conjunto de partida.
• Todos los elementos del conjunto de partida forman parte de la relación.

Vemos que la función de la izquierda si cumple con la condición de existen, porque cumple con los tres puntos que vimos anteriormente.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Y DOMINIO DE IMAGEN DE UNA FUNCIÓN

Se llama dominio de una función f, y se designa dom f, al conjunto de valores de la variable independiente x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente y.

Se llama dominio de imagen o recorrido de una función, y se designa Im f, a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en el por la función.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA

Cada elemento del conjunto de llegada corresponde como máximo a un elemento del conjunto de partida.

Vemos que el elemento d del conjunto de llegada no esta relacionada con un elemento del conjunto de partida sin embargo esto no quiere decir que esta funcion no es inyectiva ya que aunque uno o mas elementos del conjunto de llegada no tengan una relacion sigue siendo una funcion inyectiva.

FUNCIÓN INVERSA

Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto(conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto(conjunto final Y). La función inversa(o función reciproca)  de f (denotada por f^-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X.

Formalmente, diremos que f ^-1 es la inversa de f si:

Si f(x) = y entonces f ^-1 (y) = x
Para que una función f tenga inversa necesariamente deber ser inyectiva.
Ademas, tanto f como f ^-1 deben de ser biyectivas.

• El dominio de f ^-1 es el recorrido de f.
• El recorrido de f ^-1 es el dominio de f.
• La inversa de la función inversa es la propia función:

                                                    (f^-1)^-1 =  f

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La composición de funciones es la imagen resultado de la aplicación sucesiva de dos o mas funciones sobre un mismo elemento x.

Siendo f y g dos funciones, se define la composición de dos funciones (denotada por g o f) como:

La composición de funciones se realiza aplicando dichas funciones en orden de derecha a izquierda, de manera que en (g o f) (x) primero actúa la función f y luego la g sobre f(x).

 la derivada de una composición de funciones se realiza por la llamada regla de la cadena. Consiste en derivar también en orden de derecho a izquierda. Se deriva primero a la función exterior g (pero evaluada sobre la función interior f) multiplicando por la derivada de la función interior f, según esta secuencia.